第169章 这就很离谱！（2/5）

4着色的方法[8]。

这种能够“去掉”一个国家，减少国家数的局部后来被称为“可约构形”（reducfiguration）。

接下来肯普证明a国有4个邻国和5个邻国的情况仍然是可约构形，于是都能够化为不多于n个国家的情况。因此任何n+1个国家的地图仍然可以用四种颜色染色，因而通过归纳法可知，四色定理成立。

肯普的采用的方法后来被称为“肯普链”方法（kee cha）来证明可约性~

尽管肯普的做法后来被人找出错误，但肯普的思想却延续了下来。

20世纪起，欧洲数学界对四色定理的研究出现停滞。相反地，这个问题在美国得到更多的关注。

不少杰出的数学家研究了这个问题，并作出很大贡献。一部分的努力是修正肯普的证明；

另一方面的努力则是将四色问题进行转化，以使用更多有力的数学工具。

对四色问题的转化从并未停止过。

从拓扑学的版本转化至图染色的版本后，有人又在1898年提出新的变形。

肯普和其他科学家已经注意到，证明四色问题只需要考虑三个国家有共同“交点”的情况，更多国家有共同交点的情形可以转化为前者。

因此这样对应的染色图中，每个顶点恰会连出三条边。这样的图被称为“三度图”（trivalent a）。

有数学家观察到，如果三度图中任意由边围成的区域，边的个数都是3的倍数，那么图可以被4染色。他进一步发现，只要存在一种给图的顶点赋值+1或1的方法，使得每个区域的顶点数字之和都被3整除，那么图可以被4染色。可以证明，4染色和存在赋值方法是等价的。

在美国，数学家对四色定理的研究从未停止过。

除了约翰·霍普金斯大学的皮尔斯以及斯多利等人外，另一个研究者是保罗·温尼克。从当时的学术圣地哥廷根大学毕业的温尼克来到美国后在肯塔基大学任教。他1904年发表的论文中已经出现了可约性的雏形。然而美国数学界在四色问题上首次实质性的进展出现在1912年後。普林斯顿大学的奥斯瓦尔德·维布伦（经济学家托尔斯坦·范伯伦的侄子）是这波浪潮的先锋。他的工作重心是拓扑学，1905年证明了若尔当曲线定理。对庞加莱发展出的新代数工具有深入了解的他，很自然地开始对四色定理的研究。他使用有限几何学的观念和有限域上的关联矩阵作为工具，将四色问题转化成有限域系数空间上的方程问题。这个方向被后来的密码学家、数学家威廉·托马斯·塔特称为“量化方法”（the quantitativend）。同年，他的普林斯顿同僚乔治·戴维·伯克霍夫也开始探索这个方向，但一年之后他开始转向肯普的方法，也即是塔特所称的“定性方法”（the qualitativend），并提出可约环（reduci）的概念。1913年，伯克霍夫发表名为《地图的可约性》（the reducif as）的论文，利用可约环证明了由不超过12个国家构成的地图都能用四色染色。1922年，伯克霍夫的学生菲利普·富兰克林运用同样的方法，将结论加强到不超过25个国家构成的地图都能用四色染色。由于别克霍夫首次证明四色定理对不超过12个国家的地图成立，历史上证明的可染色地图的国家数上限记录被称为别克霍夫数。

伯克霍夫等人的证明是肯普的方法的延续和系统化，归纳为寻找一个不可避免的可约构形集（annidable nfnurations）。

这个理念已经体现在肯普的证明中。

他首先说明任一地图中必然存在以下四种构形2邻国国家、3邻国国家、4邻国国家和5邻国国家；然后证